咱们聊聊2022年数学竞赛里的那六道大题，说实话，谁要是把这几道题都给吃透了，估计能一战成名。先说说第一题吧，题目是关于积分的，给定了一个函数，让你证明它的积分存在，而且值还得大于0。给个小提示，试试先把被积函数拆开成两项，再把Fubini定理和零点存在定理结合起来用。第二题是复数战场上的全纯函数，给了一个开集和一个非常数全纯函数，只要对任意一点都有某种性质，就说明这个性质在任意点都成立。思路是反证法，假设存在一点不满足，再构造条从这里出发的曲线，用Cauchy积分公式来找矛盾。第三题算是算术数列里找规律的问题，给了一个Lebesgue正测集，要证明里面能找到一个2022项的等差数列。关键就在Ramsey理论上——给集合染色之后，利用那些无穷多的红块去逼出长等差数列。第四题是在函数空间里找关系的，Banach空间里的一个闭线性子空间里全是多项式函数。证明这个子空间的维数是有限的。突破口就在先证明这里面的多项式都能由低阶的线性表示出来，再用反证法排除掉无限维的可能。第五题是调和函数那边的事儿了，给定了一个光滑边界的有界域还有个调和函数，满足某种边界条件。要证明某个极限存在。核心思路就是用平均值不等式把边界值抬到内部去，再结合调和函数的局部性质把极限逼出来。第六题是常微分方程那边的事儿了，方程里有个周期扰动项，而且系数满足某种不等式条件。要证明如果有全局有界解的话就一定有周期解。技巧是先构造一个平移映射把全局解拉回到周期解上去，再用Poincaré-Bendixson定理锁定周期轨道。对了最后再贴个往届刘徽杯的高光时刻速览。看这些获奖名单真挺有感触的，像姚博文、陈嘉昊、褚小光、顾冬华、杨晓鸣、史皓嘉还有邓乐言他们都在那上面呢。