CMO几何题破局实录：消点法证题全记录。原题铺开一看，△ABC里，AD就是那个角平分线，EF和EG分别切在△ABD和△ACD的外接圆上，F、G就是切点。CF和BG在J点碰上了头。过J点画条和BC平行的线，分别去截DF、DG、DE，截出的H、I、K就是需要证的HK等于IJ。 看着图里这切线、角平分线、平行线搅在一起，切点、交点、共线点密密麻麻，感觉像掉进了几何迷宫。别急，先把这些条件全写在纸上。 第一步先把圆心给按下去，切点F才是让人头疼的家伙。利用切线性质，EF的平方等于EA乘以ED，也等于EG的平方，所以EF和EG一样长。再看角平分线的条件，AD把∠BAC给平分了。把这些圆给消掉，后面就好腾挪了。 第二轮发现BCGF这四点居然在一个圆上。这一步特关键，因为共圆之后角度就能顺着直线倒出来。平行线JK平行于BC也能顺带着引出来。 证明共圆其实就是看角度的转化。∠FBC加上180度等于∠FGC的补角，再把各个角展开化简一番，最后用角平分线的性质把∠FAE和其它角凑平，共圆就成立了。 接下来再消一层多余的点。利用根心定理和之前的共圆结果，BF、CG、DA这三条线会在一点P相交。这下圆心E、还有A、B、C都被请出了舞台。 舞台只剩直线的时候问题就变简单了。已知JH平行于BC，用一下线束定理：如果两条线平行，那么比例就相等。直接套进去一算就能得出HJ等于KI，所以IJ就等于HK。 总结一下整个过程：先把圆压下去消灭切点；再找出共圆来做突破口；最后用根心定理把多余交点清除掉；最后用线束定理收尾算出比例关系。这道题看着吓人，但只要抓住共圆这条暗线，剩下的就是按部就班地消点和计算了。