咱们先来聊聊怎么用尺规作图法把圆外一点到圆上画一条切线，这个方法非常实用。 图5.16里有个大圆心O，旁边有个点A。咱们先把圆心找出来，连接OA，OA延长后会跟圆O有个交点D。接下来把O当成新的圆心，OA当半径画个大圆，再从D点往OA上引条垂线，跟大圆碰头的那个点就是C。 把OC连起来，再去小圆上找到B点，最后把AB连起来。因为OA等于OC，OB等于OD，而且角AOB和角COD大小一样，根据SAS定理能证明△AOB全等于△COD。又因为角ODC是直角，所以角OBA也是90度，说明BA垂直于OB，它就是咱们要的切线。 这个命题告诉我们从圆外一点做切线的好办法。顺便还能知道过圆心且垂直于切线的直线肯定过切点。 接下来看看过切点的直线如果要过圆心的话得满足啥条件。 图5.17里有个圆O和一条切线AB。如果直线AC要过圆心O，那AC肯定是条直径；反过来因为AB是切线，AC又垂直于AB（这是命题5.15的推论2）。要证反方向的话也是一样的道理：先连OA能看出它垂直AB，既然AC也垂直AB，根据命题1.18推论，这俩线就得重合。 这个命题进一步把切线和直径的关系给搞明白了。 接着说说圆心角和圆周角的大小关系。 图5.18定义了扇形和圆心角。扇形边绕着圆心转一圈形成的角度就是圆心角；如果扇形边转半圈形成直径的话，这角就是平角；优弧转一圈半或者更多那角更大；要是边刚好转一圈回来就是周角360度。圆周角呢就是圆上随便取个点跟弧的两端点连线夹的那个角。 图里有个弧AB对应的圆心角AOB和圆周角ACB。我们把CO连起来并延长到D点。因为OA和OC是半径一样长，所以两边的底角相等；利用命题1.44又能得出两个大角跟对应底角的二倍关系。把它们加起来一算就能得出∠AOB等于2倍的∠ACB。 这就确定了圆心角是圆周角的两倍。顺带能推出半圆对应的圆心角是平角而圆周角是直角；同一条弧上的圆周角大小都一样。 再来讲讲那个有名的婆罗摩笈多定理。 图5.19里ABCD是圆内接四边形，对角线AC和BD垂直相交于P点。如果PE垂直于CD去交AB于F点的话，AF肯定等于FB。 这是因为△DPC是直角三角形且PE垂直于CD；根据命题1.20和3.9、还有5.18的推论2能看出好几个角都相等；这就说明PF等于BF；同理PF还等于AF；最后AF也就等于FB。 这个定理看着复杂其实是上一命题的推论。 最后来看看共圆三角形面积比的问题。 图5.20里有两个圆内接三角形ABC和DEF。要证明它们的面积比等于三边乘积的比。 先把AE、BD、BE连起来；因为角ACB和角AEB互补；利用那个面积比公式就能推出来好几组比；把这些比串起来一算就能得到结论。 这个命题建立了同圆内接三角形面积跟边长的具体关系。