从逻辑主义到语义学，卡尔纳普的数学哲学展现了双重的思想轨迹。在维也纳学派里，卡尔纳普被视作逻辑经验主义的代表，却很少有人记得他年轻时曾坚定捍卫逻辑主义。1919年，他在耶拿大学听弗雷格的讲座，读怀特海和罗素的《数学原理》，被逻辑主义纲领吸引，认为数学可以归结为逻辑。他一直活跃在数学基础争论的前沿，试图用逻辑主义给经验主义找到通往数学的桥梁。他受到了弗雷格和罗素的影响，吸收了直觉主义和形式主义的观点，还把维特根斯坦的观点融入自己的思想。卡尔纳普将数学知识看作分析性的命题，而不是康德所说的先天综合判断。他把数学定义简化为两条公理：数学概念可由逻辑概念推导，数学定理可由逻辑公理推导。他认为几何学是一个例外，属于经验领域。1930年9月，卡尔纳普与莱欣巴赫组织了一个专题讨论会，让不同学派的人展开辩论。他在会上承认面对罗素的一些公理存在困难，但坚持认为只要解释这些公理为分析性的，逻辑主义依然可行。晚年他进一步说明无穷和选择公理可以被赋予分析性解释，以此为逻辑主义保留阵地。他批判了康德认为数学是先天综合判断的观点，指出非欧几何证明了这个观点已经过时。他区分了“内部问题”和“外部问题”，认为前者是特定语言构架内对象存在与否的问题，后者是关于整体语言构架是否先于经验而存在的伪问题。数的存在、性质和共相等只是内部问题，没有形而上学意义。卡尔纳普早期的数学观为经验主义奠定了基础，把经验证实和数学基础纳入同一理论框架中。他还把形式化方法推广到整个哲学领域，建立了句法理论。他认为哲学任务就是逻辑分析，把一切命题还原为句法句子。这让哲学脱离了形而上学的纠缠，为经验主义提供了清晰边界。卡尔纳普用一生展示了逻辑主义的演进和局限，也展示了如何通过方法论创新来修正理论并寻求新生。他的思想轨迹为20世纪哲学留下了宝贵的遗产。